集合建构式符号

怎样以成员的属性来描述集合。

集合（简称：集）是由一个或多个确定的东西（通常是数字）所构成的整体。

例子：{5, 7, 11} 是个集合。

我们也可以用描述成员的方法来 "建立" 一个集合。

这是一个集合建构式符号的简单例子：

就是："所有 x 的集合，使得 x 大于 0"。

换句话说，任何大于 0 的值

注意：

"x" 只不过是个位置标志符，可以用任何符号来代替，例如 { q | q > 0 }

有些人用 ":" 而不用 "|"：{ x : x > 0 }

数的种类

通常也会显示 x 是什么种类的数：

的意思是 "的成员"（就是 "在"）

是实数的独特符号。

所以意思是：

"所有实数的成员 x 的集合，

使得 x 大于或等于 3"

换句话说， "所有 3或以上的实数"

也有其它显示方法：

在实数直线上是这样的：

用区间符号来表达是这样的： [3, +∞)

数的种类

我们在上面介绍了 （实数的特别符号）。以下是常见的数种类：

自然数

整数

有理数

实数

虚数

复数

例子：{ k | k > 5 }

"所有整数的成员 k 的集合，使得 k 大于 5"

换句话说，所有大于 5的整数。

也可以写成 {6, 7, 8, ... }，所以：

{ k | k > 5 } = {6, 7, 8, ... }

为什么要用集合建构式符号？

一个简单的集，例如 从 2 到 6 的整数 可以写成：

{2, 3, 4, 5, 6}

但怎样列出这个区间里的实数呢？

{2, 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, …… ？？？

所以我们写下怎样建立这个数列：

{ x | x ≥ 2 并且 x ≤ 6 }

在所有实数里限制只包括 2 到 6。

我们也可以在其它地方应用集合建构式符号：

{ x | x = x2 } = {0, 1}

所有实数 x，使得 x = x2

0 和 1 是唯一符合 x = x2 的实数

又一个例子

例子：x ≤ 2 或 x > 3

集合建构式符号像这样：

{ x | x ≤ 2 or x >3 }

在实数直线上像这样：

用区间符号是这样：

(-∞, 2] U (3, +∞)

我们用 "U" 来代表并集（两个集合的并合）。

定义域的定义

集合建构式符号是用来定义定义域的好方法。

简单地说，定义域是函数的所有输入值。

函数一定要在所有输入值上成立，所以我们要定义正确的定义域！

例子：1/x 的定义域

在 x=0，1/x 是未定义的（因为 1/0 是除以零）。

所以定义域不能包括 x=0：

1/x 的定义域是除了 0以外的所有实数

可以写成

Dom(1/x) = {x | x ≠ 0}

例子：g(x)=1/(x-1) 的定义域

在 x=1，1/(x-1) 是未定义的，所以要把 1 从定义域里剔除：

1/(x-1) 的定义域是除了 1 外的所有实数

用集合建构式符号来表达是：

Dom( g(x) ) = { x | x ≠ 1}

例子：√x 的定义域

是 0 及以上的实数，因为不能将负数开方（除非用虚数，但我们这里不用）。

可以写成

Dom(√x) = {x | x ≥ 0}

例子：f(x) = x/(x2 - 1) 的定义域

要避免除以零：x2 - 1 ≠ 0

分解3因子：x2 - 1 = (x-1)(x+1)

(x-1)(x+1) = 0 若 x = 1 或 x = -1，这是我们要避免的！

因此：

Dom( f(x) ) = {x | x ≠ 1, x ≠ -1}

区间

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